geraklit

Статьи

Беспомощность классической логики

Всё человечество, и автор в том числе, с почтением относится к попытке Аристотеля формализовать мышление. Однако с поставленной задачей Стагирит не справился и даже внёс определённую путаницу в эту проблему, что вызвало заслуженные нарекания в его адрес. Пальма первенства в критике классической логики принадлежит Ф.Бэкону (1561-1626). По его мнению "Органон" Аристотеля не только бесполезен, но глубоко вреден для науки, поскольку не является инструментом научного исследования, тормозит развитие наук, служит основанием заблуждений. Аристотель учит лишь ведению пустопорожних споров[1,2]. Эстафету критики Аристотеля принял советский учёный Васильев Н.А., который заявил, что классическая логика не имеет никакого отношения к математике и здравому смыслу, что "…частное суждение представляет для логики значительные трудности, употребление его полно двусмысленности"[3]. Я лишь завершил разгром, начатый великими учёными.

Фундаментом классической логики служат логика суждений и логика предикатов (силлогистика). До сих пор доказательство различных логических законов ведётся на основе громоздких таблиц истинности. Переход к аналитическим методам доказательства предельно прост[6,7]. Классическая силлогистика не имеет никакого отношения к здравому смыслу и математике, обременена множеством ненужных определений, законов, правил и т.п. и не воспринимается студентами. Кроме того, классическая силлогистика далеко не всегда корректна. Например, все 4 правила посылок в силлогистике не верны. Поэтому автору пришлось разработать силлогистику здравого смысла[6-8]. Всё вышеназванное вместе с новыми методами решения логических уравнений, нахождением обратных функций, анализом и синтезом соритов[9, 11] составило Русскую логику (логику Лобанова). С популяризаторскими статьями по Русской логике можно ознакомиться на моих сайтах ruslogic.by.ru и ruslogic.narod.ru.

Перечислим основные недостатки классической логики.

  1. Классическая логика не использует минимизацию логических функций с помощью карт Карно в том числе и в связи с незнанием алгоритмов, разработанных автором. Карты Карно - необходимейший и обязательный инструмент логика.
  2. Классическая логика проявляет невежество при доказательстве законов логики суждений, поскольку не применяет аналитических методов, что катастрофически сужает круг рассматриваемых задач.
  3. Отсутствие аналитического представления силлогистических функторов лишает фундамента логику предикатов.
  4. Все законы и правила силлогистики либо некорректны, либо никчёмны по своей сути, поскольку в них не учитывается влияние универсума и конкретного содержания терминов.
  5. Все фигуры и модусы силлогистики никчёмны, поскольку нельзя анализировать и синтезировать силлогизмы в общем виде без рассмотрения конкретного базиса, универсума и содержания каждого термина.
  6. Классическая силлогистика оперирует лишь функторами Axy, Exy, Ixy, Oxy и не охватывает подавляющее большинство суждений любого другого типа.
  7. Функтор Oxy является не только лишним, но и некорректным.
  8. В классической логике не решена проблема единичного множества.
  9. Нет окончательного результата в проблеме решения логических уравнений и в синтезе обратных логических функций.
  10. В связи с вышеперечисленным студенты и преподаватели обречены на унылую бестолковую зубрёжку и не умеют решать серьёзные задачи логики.
  11. Искореняется всякое мышление.

Ни о какой математической логике с такими недостатками не может быть и речи. Естественно, не может быть и никакого мышления, основанного на классической логике. Проиллюстрируем этот тезис конкретным примером. Нобелевский лауреат, академик Бертран Рассел в своей работе [10, стр.194] приводит силлогизм:

Все люди разумны.
Некоторые животные - люди.
-----------------------------
Некоторые животные - разумны.

Покажем на этом силлогизме ущербность мышления Б. Рассела и недостатки классической логики. Во-первых, недостатки мышления академика проявляется в отсутствии универсума(даже 100 лет назад логики не позволяли себе такого невежества). Определим, например, в качестве универсума весь животный и растительный мир. Во-вторых, последняя посылка с позиции Русской логики просто безграмотна, поскольку в силу симметрии частно-утвердительного функтора мы должны считать, что некоторые люди - животные, а остальные - растения. В соответствии с Русской логикой и здравым смыслом вторую посылку необходимо заменить суждением "Все люди - животные". В-третьих, по теории русского физиолога И.П. Павлова разумными могут быть люди и только люди, т.е. "люди" и "разумные существа" - эквивалентные понятия.. Следовательно, и первая посылка некорректна. В итоге получим следующие посылки.

Все люди(m) и только люди разумны(x).
Все люди(m) - животные(y).
-------------------------------------
F(x,y) = ?

Решение:

Пусть x - разумные существа, m - люди, y - животные. Универсум - животный и растительный мир. По алгоритму ИЭИ[8]:

M = (x»m)Amy = (xm+x'm')(m'+y) = m'x'+xmy+x'm'y = m'x'+xmy
F(x,y) = x'+y = Axy.

Таким образом мы получили правильное заключение "Все разумные - животные", что вполне согласуется со здравым смыслом. И это лишь надводная часть айсберга невежества Б.Рассела.

Поскольку математики и логики 20 века не поняли фундаментальных работ Порецкого П.С. и Л.Кэрролла[11], а также не заметили, что кванторное исчисление ничего не исчисляет и что алгебра множеств является всего лишь алгеброй логики, то говорить о математическом мышлении логиков и математиков можно с большой натяжкой. На этом фоне отнюдь не удивляет невежество к.ф.н. Л.А.Дёминой[12], не только не изучившей Русской логики, но и не освоившей фундаментального наследия своих великих предшественников. Кстати, несмотря на нелицеприятную критику классической логики и её апологетов автором Русской логики, в её адрес не поступило ни единого критического замечания ни со стороны студентов, ни со стороны признанных корифеев отечественной логики, в том числе и на III Российском философском конгрессе, где автор выступил на двух секциях и на одном "Круглом столе". Поскольку работы автора переводятся в США, то существует опасение возвращения Русской логики на родину в зарубежной упаковке, если мы и впредь будем так пассивно осваивать достижения отечественной науки.

Литература

  1. Ф.Бэкон. Сочинения. В 2-х томах. - М.:1978.
  2. История логики. Под ред. В.Ф.Беркова. - М.: 2002.
  3. Васильев Н.А. О частных суждениях. - Казань:Университет,1910.
  4. Лобанов В.И. Инженерные методы разработки цифровых уст ройств. - М.: НИИРТА,1977. 1977(шифр Центр.Политехн.Библиотеки - W145 4/231).
  5. Лобанов В.И. Практикум по логике суждений. //Информатика и образование, №2,2001, с. 47-52.
  6. Лобанов В.И. Кризис логики суждений и некоторые пути выхода из него.//Современная логика:проблемы теории,истории и применения в науке(Материалы V Общероссийской научной конференции)-Санкт-Петербург,1998.
  7. Лобанов В.И. Базовые проблемы классической логики.//Современная логика: Проблемы теории, истории и применения в науке(Материалы VI Общероссийской научной конференции), СПбГУ, 2000.
  8. Лобанов В.И. Практикум по силлогистике. //Информатика и образование, №6, 2001, с. 42 - 47.
  9. Лобанов В.И. Азбука разработчика цифровых устройств. - М.: Горячая линия - Телеком, 2001 - 192с.
  10. Рассел Б. История западной философии" - М.:2000 -768с.
  11. Лобанов В.И. Логика Порецкого.// НТИ, сер.2 ,Инф. процессы и системы, №9, 2001, с,25-31.
  12. Дёмина Л.А. Плюсы и минусы…//Вестник РФО, №3,2002, стр.24-25.

Ликбез по логике в России как проблема национальной безопасности

Никакое образование немыслимо без изучения логики. Логика - фундамент любой науки и в первую очередь математики. Этот предмет в качестве основного впервые ввёл в гимназиях и Академии великий русский учёный М.В. Ломоносов. С тех пор логику в обязательном порядке изучали в гимназиях России и по указанию Сталина в 1946-1953 гг. в школах СССР. В связи с этим удивляют безграмотность и бестолковость современной математики:

  • "изобретено" кванторное исчисление, которое ничего не исчисляет;
  • "придумана" алгебра множеств, задачи которой решает алгебра логики;
  • доктора физматнаук не знают математической логики, в чём открыто признаются, и при этом ничуть не смущаются;
  • 120 лет матлогики не могут освоить результатов П.С. Порецкого и Л. Кэрролла.

В настоящее время логика преподаётся в гуманитарных вузах, некоторых лицеях и колледжах. Однако, в первую очередь логике нужно учить технарей, математиков, т.е. не "лириков", а "физиков". Кроме того, логика должна стать обязательным предметом в средней школе. В гимназиях России логике уделялось больше времени и внимания, чем математике. Необходимо ликвидировать логическую безграмотность подрастающего поколения. Но чему учить молодёжь? Современная классическая логика вопиюще безграмотна и дремуче невежественна. Об этом ещё 400 лет назад говорил выдающийся философ Френсис Бэкон. Он утверждал, что логика Аристотеля не только бесполезна, но и вредна, что она тормозит развитие науки.

Основные недостатки классической логики:

  • доказательство истинности суждений ведётся допотопными методами;
  • в силлогистике не учитывается содержание терминов и универсума;
  • все правила посылок некорректны;
  • модусы, эти интеллектуальные костыли, в большинстве своём неверны;
  • огромное количество никчёмных определений, правил, которые приходится зубрить, что отбивает у студентов желание мыслить;
  • нет аналитического представления силлогистических функторов;
  • нет математических методов анализа и синтеза силлогизмов;
  • современная логика не имеет никакого отношения к логике здравого смысла.

Как следствие, ни один преподаватель, ни один академик не умеет решать задачи по логике, т.е. не владеет инструментом мышления. В частности, поэтому я получаю по Интернет письма с просьбой решить задачи по силлогистике. Именно поэтому меня приглашают читать лекции по Русской логике в школы, лицеи, колледжи, академии. Русская логика прошла 6-летнюю проверку на конференциях в СпбГУ (1998, 2000гг) в присутствии признанных логиков-профессионалов, в ИТО-2000 в преподавательской среде средней школы, на конференциях в МИФИ на кафедре вычислительной техники, на международном конгрессе философов в Ростове-на-Дону (2002г), в школьной и студенческой среде. Приходилось читать платные лекции по Русской логике в обществе "Знание". Ни разу не прозвучало ни одного критического замечания.

Созданная мною логика, опирается на выдающиеся результаты русских учёных, поэтому носит название Русской. Разработанные алгоритмы основаны на здравом смысле и математике, поэтому легко воспринимаются учащимися и студентами. Даже 7-классники решают такие задачи, с которыми не справится ни один академик. Мною опубликовано более 50 работ по Русской логике, я раздаю файлы с конспектами лекций, контрольных работ всем преподавателям. Мною изданы книги "Азбука разработчика цифровых устройств", "Русская логика против классической", "Решебник по Русской логике". Заканчиваю работу над учебным пособием "Русская логика для школьников". Но я один не смогу обучить всю Россию логике, поэтому предлагаю ряд первоочередных мероприятий по ликвидации логической безграмотности.

Перечень необходимых мероприятий по внедрению Русской логики в образование:

  1. Дать цикл радио- и телепередач образовательного характера на основе имеющихся видеозаписей;
  2. Дать цикл публикаций в образовательных журналах и газетах "Информатика и образование", "Квант", "Математика в школе" и т.п.;
  3. Переиздать книги "Русская логика против классической" и "Решебник по Русской логике" тиражом не менее 10 тыс. экземпляров и распространить их по всей территории России.
  4. Провести обучение преподавателей в институтах повышения квалификации;
  5. Разработать и издать учебники по Русской логике для средней и высшей школы;
  6. Провести международные математические олимпиады по решению задач П.С. Порецкого, Л. Кэрролла и др. авторов;
  7. Ввести изучение Русской логики в средней школе, во всех технических и гуманитарных вузах, а также в системе среднего специального образования.

Русская логика - это рабочее название истинно математической логики, отличающее её от классической болтологики. Когда основные её положения станут неотъемлемой частью классической логики, т.е. когда отомрут все недостатки существующей логики, тогда Русская логика станет просто логикой. Сфера применения Русской логики поэтому та же, что и у классической логики:

  1. Разработка электронных цифровых систем управления, синтез комбинационных схем и конечных (микропрограммных) автоматов, создание всевозможной вычислительной техники, компьютеров и т.п.;
  2. Создание искусственного интеллекта - стратегического направления науки и техники третьего тысячелетия;
  3. Доказательство теорем, законов в самых различных областях науки и техники (математика, физика, химия, богословие, юриспруденция и т.п.);
  4. Решение логических уравнений, анализ и синтез силлогизмов;
  5. Выработка дисциплины мышления.

Я готов передать цикл лекций для преподавателей, собирающихся внедрить Русскую логику в образование. Зарубежье активно осваивает Русскую логику - за Державу будет обидно, если наша логика вернётся на Родину в импортной упаковке.

Недостатки и ошибки классической логики

Аннотация

В статье анализируются недостатки и грубейшие ошибки классической логики в таких её разделах как логика суждений и логика предикатов. Отмечается недопустимость преподавания логики с подобными изъянами. Предлагаются простые, доступные пониманию школьников, математические методы решения проблем логики, возраст которых превышает 24 века. Впервые в мире решена задача Лейбница о переводе логики на математическую основу. Методы апробированы в течение 6-летноего преподавания в школах и колледжах, при чтении лекций в НПФ "Знание", в докладах на международных конференциях по проблемам логики. Результаты автора изложены в многочисленных отечественных и зарубежных публикациях.

Фундаментом классической логики служат логика суждений и логика предикатов (силлогистика). До сих пор доказательство различных логических законов ведётся на основе громоздких таблиц истинности, что лишний раз свидетельствует о низком профессиональном уровне "классиков". Переход к аналитическим методам доказательства предельно прост, но почему-то никто из "логиков"[1] до него не додумался. Возможно "профессионалов" отпугивает минимизация логических функций. Действительно, если использовать традиционные методы (Квайна, Блека - Порецкого), то проводить аналитическое доказательство не захочется. Поэтому автор ещё в 1977г. разработал алгоритмы для работы с картами Карно, что существенно упростило минимизацию[2, 3]. На основе этих алгоритмов были разработаны новые методы анализа и синтеза законов логики суждений, силлогизмов, соритов, полисиллогизмов и решения логических уравнений[5 - 18, 29]. Начнём с доказательства законов логики суждений и анализа заключений импликативных силлогизмов.

Алгоритм "Импульс".

Алгоритм анализа (доказательства) законов логики суждений чрезвычайно прост (здесь и далее апостроф означает отрицание):

  1. произвести замену всех знаков импликации на символы дизъюнкции в соответствии с известной формулой x ® y = x' + y;
  2. привести полученное выражение с помощью закона Де Моргана к дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ);
  3. занести ДНФ в карту Карно и убедиться, что она вся покрыта единицами - это свидетельствует о истинности проверяемого закона или суждения.

Воспользуемся алгоритмом "Импульс" для доказательства наиболее интересных законов логики суждений.

Законы импликативных силлогизмов

1.Если [(если р, то q) и (если р,то r)], то [если р, то(q и r )].
 [(p -> q)(p -> r)] -> (p -> qr) = [(p' + q)(p' + r)]' + (p' + qr) =
 = (p'+qr)'+p'+qr = 1.
2.Если [(если р, то q) и (если r,то s)],то [если(р и r),то (q и s)].
 [(p->q)(r->s)] -> (pr->qs) = [(p'+q)(r'+s)]'+p'+r'+qs =
 = pq'+rs'+p'+r'+qs = 1.
3.Если [(если р, то q) и (если q, то r)],то (если р, то r).
 [(p->q)(q->r)] -> (p->r) = pq'+qr'+p'+r = 1.
4.Если [(если р, то q) и (если r, то q)],то [если (р или r), то q].
 [(p->q)(r->q)] -> [(p+r) ->q] = pq'+rq'+p'r'+q = 1.

Как видит читатель, такие законы можно "изобретать" и доказывать десятками. Во всех выводах применялась аналитическая минимизация логических функций. Однако значительно проще для этой цели использовать карты Карно[2, 3].

Решим аналитически одну из задач Катречко[4, 6].

Задача

Если бог существует, то он всемогущ и всеблаг. Бог или бессилен предотвратить зло, или он не желает предотвращать его (зло существует на Земле). Если бог всемогущ, то неверно, что он бессилен предотвратить зло. Если бог всеблаг, то неверно, что он не желает предотвращать зло. Следовательно, неверно, что бог существует.

Решение

X - бог всемогущ,
Y - бог всеблаг,
Z - бог существует,
U - зло существует,
V - бог бессилен против зла,
W - бог желает предотвратить зло.
(z -> xy)u(u -> (v+w'))(x -> v')(y -> w) -> z' = 
= (z'+xy)u(u'+v+w')(x'+v')(y'+w) -> z' = 
= z(x'+y')+u'+uv'w+xv+yw'+z' = 1.

Мы строго математически доказали, что вера в бога ошибочна. Это верно при условии, что все наши посылки корректны. Здесь для минимизации логической функции была использована карта Карно от 6 переменных. Аналитический метод минимизации был бы чрезвычайно утомителен и без гарантии успеха, а применение машинной минимизации - неэффективно: "из пушки по воробьям". Полное решение всех задач Катречко можно найти в [6].

Важнейшим разделом классической логики является силлогистика, или логика предикатов. Силлогизм - это умозаключение, в котором из двух посылок, связанных общим термином, выводится заключение. Силлогистика - раздел логики, занимающийся анализом и синтезом силлогизмов. Изучение этого раздела невозможно без решения задач, что вызывает непреодолимые трудности не только у студентов, но и у преподавателей. Ни один академик не умеет решать задачи по силлогистике. О формальных методах анализа и синтеза силлогизмов мечтал самый выдающийся математик всех времён и народов Г.В. Лейбниц: "Единственное средство улучшить наши умозаключения состоит в том, чтобы сделать их столь же наглядными, как и у математиков, - такими, что их ошибочность можно было бы увидеть глазами, и если между людьми возникают разногласия, достаточно было бы только сказать: "Вычислим! " - чтобы без долгих рассуждений стало ясно, кто прав".

Для общеразговорной логики вполне достаточно трёх или даже двух (Axy и Ixy) базовых суждений (силлогистических функторов):

  1. Все X суть Y(Axy);
  2. Ни один X не есть Y(Exy);
  3. Некоторые X суть Y(Ixy);

Для создания истинно математической силлогистики необходимо прежде всего аналитически описать все силлогистические функторы. До сих пор ни в одном учебнике таких формул нет. Поскольку функторы описывают множества, то для их отображения были созданы круги Эйлера, диаграммы Венна и диаграммы Ламберта. Они не решили поставленной задачи. Автору пришлось ввести скалярные диаграммы определённого вида (диаграммы Лобанова) и применить к ним формальный синтез логических функций. Таким образом был построен базис силлогистики[7 - 18]. На приведённых рисунках представлен процесс перехода от диаграмм Венна к диаграммам Лобанова и синтез логических функций для силлогистических функторов Axy, Exy, Ixy.

     Axy = x' + y            Exy = x' + y'            Ixy(8) = 1

Под базисом будем понимать определённый набор функторов Аху, Еху, Ixy. В общеразговорной логике все суждения построены в базисе Васильева, поскольку именно он отражает логику здравого смысла(см. вышеприведённый рисунок). Этот базис имеет следующее аналитическое представление:

Axy = x'+y = (xy')'
Exy = x'+y' = (xy)'
Ixy(8) = x+y+x'y' = 1,

где в скобках указан номер базиса для частно-утвердительного суждения. С помощью этого базиса можно представить любой другой базис, заменив скалярные диаграммы. Для фиксации и компактного описания введем операцию сцепления (конкатенации) функторов, обозначив ее символом ||. Тогда для частно-утвердительного функтора могут быть получены следующие описания и аналитические выражения [5 - 12]:

  1. Ixy(1) = Axy & Ax'y = x;
  2. Ixy(2) = Ixy(8) || (Ax'y & Ay'x) = x+y+ix'y' - русский функтор;
  3. Ixy(3) = Ixy(8) || (Ax'y & Ay'x) || Axy || Ayx = xy + i(x'+y') - функтор Аристотеля;
  4. Ixy(4) = Ixy(8) || Ayx = x+y'+ ix'y;
  5. Ixy(5) = Ixy(8) || Ayx || (Ax'y & Ay'x) = x+ix';
  6. Ixy(6) = (Ax'y & Ay'x) = x+y;
  7. Ixy(7) = Ixy(8) || Axy || (Ax'y & Ay'x) = y+iy';
  8. Ixy(8) = x+y+x'y' = 1 - функтор Васильева.

Автором разработаны несколько алгоритмов анализа и синтеза силлогизмов[7 - 18]. Здесь приводится лишь наиболее простой и наглядный алгоритм ТВАТ.

Алгоритм "ТВАТ"(Тушинский вечерний авиационный техникум)

  1. Изобразить все возможные ситуации для исходных посылок с помощью скалярных диаграмм.
  2. Занести в таблицу истинности все значения f(x,y) для входных наборов xy: 00,01,10,11.
  3. Выполнить минимизацию логической функции заключения f(x,y).
  4. Полученный результат представить в виде силлогистического функтора в соответствии с известным базисом.

Проиллюстрируем его возможности на конкретном примере. Нобелевский лауреат, академик Бертран Рассел в своей работе [26, стр.194] приводит силлогизм:

Все люди разумны.
Некоторые животные - люди.
--------------------------------------------
Некоторые животные - разумны.

Покажем на этом примере ущербность мышления Б. Рассела и недостатки классической логики. Во-первых, отсутствие дисциплины мышления проявляется в отсутствии универсума, хотя даже 100 лет назад Льюис Кэрролл[1] не позволял себе такого невежества. Определим, например, в качестве универсума весь животный и растительный мир. Во-вторых, последняя посылка с позиции русской логики просто безграмотна, поскольку в силу симметрии частно-утвердительного функтора мы должны считать, что некоторые люди - животные, а остальные - растения, минералы или ещё что-нибудь неодушевлённое. В соответствии с русской логикой и здравым смыслом вторую посылку необходимо заменить суждением "Все люди - животные". В-третьих, по теории великого русского физиолога И.П. Павлова разумными могут быть люди и только люди, т.е. "люди" и "разумные существа" - эквивалентные понятия.. Следовательно, и первая посылка некорректна. Отредактировав Б. Рассела, получим следующие посылки.

Задача

Все люди(m) и только люди разумны(x).
Все люди(m) - животные(y).
-------------------------------------------
F(x,y) = ?

Решение

Пусть x - разумные существа, m - люди, y - животные. Универсум - животный и растительный мир. По алгоритмам ИЭИ и ТВАТ :

M = (x"m)Amy = (xm+x'm')(m'+y) = m'x'+xmy+x'm'y = m'x'+xmy
F(x,y) = x'+y = Axy.
m  =========---------

x  =========---------

y  ============------
Xy f(x,y)
00 1
01 1
10 0
11 1
		
F(x,y) = x'+y = Axy.

Таким образом мы получили правильное заключение "Все разумные - животные", что вполне согласуется со здравым смыслом.

Пойдём навстречу Б.Расселу, "сыграем в поддавки", т.е. построим силлогизм, который укладывался бы в модус AII первой фигуры.

Все молодые люди(m) разумны(x).
Некоторые студенты(y) - молодые люди(m).
--------------------------------------------
F(x,y) = ?

По алгоритму ТВАТ при универсуме U = разумные существа:

m  =========---------

x  =========---------

y  ============------
Xy f(x,y)
00 0
01 0
10 1
11 1
F(x,y) = x = Ayx & Ay'x.

Полученное заключение опять не соответствует выводу Б.Рассела и законам классической логики, но прекрасно согласуется со здравым смыслом и математикой. Эти примеры демонстрируют невежество не одного только маститого академика, но и всей мировой науки. Вся аморфность мышления Б. Рассела, как и любого другого "мыслителя", сразу проявляется при прорисовке скалярных диаграмм. Именно они принудительно дисциплинируют мышление. Кстати говоря, ошибками подобного рода пестрит раздел логики в учебнике философии Д. Тейчман и К. Эванс, профессоров Оксфорда и Кембриджа[27]. Например, на стр. 174 приводится посылка "Некоторые солдаты - люди" вместо "Все солдаты - люди", на стр. 170 суждение "Некоторые животные - олени " следует заменить на "Все олени - животные" и т.д. Таким образом, русская логика дисциплинирует мышление, тренирует ум. Это вполне согласуется с мыслью Демокрита о том, что надо воспитывать в себе "многомыслие", а не "многознание"[28,с.513].

Задача 1

Проверить корректность 1-го правила посылок классической силлогистики[19, стр.133].

Решение

Это правило формулируется так: "Хотя бы одна из посылок должна быть утвердительным суждением. Из двух отрицательных посылок заключение с необходимостью не следует". Подберём контр-пример на 1-е правило посылок.

Ни один человек(m) не является бессмертным(x).
Ни один человек(m) не является счастливым(y).
-----------------------------------------------------
F(x,y) = ?

В данном силлогизме универсумом (U) является множество существ. По алгоритму ИЭИ получим следующий результат.

M = EmxEmy = (m'+x')(m'+y') = x'y'+m
F(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3), 

т.е. "Некоторые смертные несчастливы".

Здесь и далее индекс в скобках обозначает номер базиса. По алгоритму ТВАТ получим графическое решение .

 m  ===========-------------

 x  ------------------======

y1  ------------====--------

y2  --------------------====

y3  --------------==========

y4  --------------========--
Xy f(x,y)
00 1
01 i
10 i
11 i
F(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3),

т.е. результаты аналитического и графического синтеза заключения совпали со здравым смыслом и опровергли 1-е правило посылок.

Задача 2

Проверить корректность 2-го правила посылок классической силлогистики[19, стр.134].

Решение

Это правило формулируется так: "Если одна из посылок - отрицательное суждение, то и заключение должно быть отрицательным". Контр-пример для этого случая может быть таким.

Все люди(m) - животные(x).
Ни один человек(m) не имеет хвоста(y).
---------------------------------------------
F(x,y) = ?

В качестве универсума(U) примем множество смертных существ. Наиболее наглядным является графическое решение по алгоритму ТВАТ.

m  ========-----------

x  ===================

y  ------------=======

Из скалярных диаграмм видно, что заключение является общеутвердительным: "Все хвостатые существа - животные", что опровергает 2-е правило посылок.

Задача 3

Проверить корректность 3-го правила посылок классической силлогистики[19, стр.134].

Решение

Это правило формулируется так: "Хотя бы одна из посылок должна быть общим суждением. Из двух частных посылок заключение с необходимостью не следует". Рассмотрим контр-пример:

Некоторые люди (m) неграмотны (x).
Некоторые люди (m) бескультурны (y).
-----------------------------------------
F(x,y) = ?

Пусть U - множество животных. Предположим, что культурным (вежливым, например) может быть и неграмотный. Животные по определению не могут быть культурными. Поскольку аналитический метод синтеза силлогизмов по алгоритму ИЭИ не обладает необходимой наглядностью, то вновь воспользуемся алгоритмом ТВАТ.

m  ======----------------

x  -----=================

y1 ------================ 

y2 ---===================

y3 =====----=============
Xy f(x,y)
00 i
01 i
10 i
11 1
F(x,y) = xy+i = Ixy(3),

т.е. "Некоторые неграмотные бескультурны" . Это соответствует математике и здравому смыслу, что ставит под сомнение корректность 3-го правила посылок. Разумеется, полученное заключение не единственно возможное, однако оно вполне имеет право на существование. Кроме того, если мы ограничим универсум каким-либо локальным случаем (см., например, задачу 6), то вполне может оказаться истинным лишь одно заключение (ситуация Y1): "Все грамотные - культурны". Такое заключение перечёркивает 4-е правило посылок[19,стр.135]:" Если одна из посылок - частное суждение, то и заключение должно быть частным".

Таким образом в ходе решения трёх задач мы доказали некорректность всех четырёх правил посылок классической силлогистики[8]. Следовательно, классическая силлогистика в принципе не может решать поставленные перед нею проблемы. Преподавать классическую логику преступно по отношению к студентам и школьникам.

Задача 4

Все квадраты(m) суть прямоугольники(x)
Все квадраты(m) суть ромбы(y)
-------------------------------------------
f(x,y) = ?

Решение

По алгоритму ИЭИ получим:

M = AmxAmy (m=xy) = (m'+x)(m'+y)(mxy+m'x'+m'y') = mxy+m'x'+m'y'
f(x,y) = xy+x'+y' = Ixy(8)

В качестве третьей посылки мы ввели определение квадрата как прямоугольного ромба.

Если в качестве универсума используем понятие "параллелограммы", то получим по алгоритму ТВАТ аналогичный результат.

m  =========--------

x  ============

y  =========----====
Xy f(x,y)
00 1
01 1
10 1
11 1

Если в качестве универсума выберем лишь множество, состоящее из прямоугольников и ромбов, то получим иной результат.

m  -----=====-----

x  -----==========

y  ==========-----
Xy f(x,y)
00 0
01 1
10 1
11 1
f(x,y) = x+y = Ax'y = Ay'x

Эта задача демонстрирует влияние объёма термина и универсума на заключение.

Задача 5

Если в силлогизме 
Все люди(x) смертны(m)
Сократ(y) - смертен(m)

в качестве универсума примем множество живых существ, т. е. только смертных, то, не зная,что Сократ - человек, получим следующее решение.

M = AxmAym = (x'+m)(y'+m) = x'y'+m
F(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3)

Проверим этот результат по алгоритму ТВАТ:

m  ================

x  ========--------

y1 -----------==---

y2 --==------------
Xy f(x,y)
00 1
01 i
10 1
11 i
f(x,y) = y'+iy = Ixy'(7)

По алгоритму ТВАТ мы получили менее жёсткий результат, но он логически обоснован: Сократ не может быть одновременно и человеком, и животным, поэтому у нас в скалярных диаграммах отсутствует ситуация Ixy. Этот пример ещё раз подтверждает мысль о бесполезности модусов, о необходимости абсолютно конкретного аналитического или графического представления каждой посылки. К сожалению, в аналитике обе посылки данного силлогизма идентичны, что не соответствует действительности. В этом заключается один из недостатков аналитического синтеза силлогизмов. Только алгоритм ТВАТ может работать с единичными множествами.

Задача 6

Провести синтез силлогизма:

Все люди (m) смертны (x)
Некоторые люди (m) неграмотны (y)
------------------------------------------------
f(x,y) = ?

Решение

Пусть в универсум входят люди, животные и боги. Богов будем считать грамотными.

M = AmxImy(8) = (m'+x) & 1 = m'+x
f(x,y) = x+i = Ixy(5)

Проверим заключение по алгоритму ТВАТ.

m  =========------

x  ===========----

y  ----=======----
XY f(x,y)
00 1
01 0
10 1
11 1
f(x,y) = y'+x = Ayx

Если мы посчитаем богов неграмотными, то заключение снова изменится.

m  =========---------

x  =============-----

y  ----==============
Xy f(x,y)
00 0
01 1
10 1
11 1
f(x,y) = x+y = Ax'y = Ay'x

Рассмотрим этот же силлогизм,но в отсутствии богов,т.е. не включим их в универсум.

m  =========---------

x  ==================

y  ----==============
Xy f(x,y)
00 0
01 0
10 1
11 1
f(x,y) = x = AyxAy'x

Этими вариантами не исчерпываются все ситуации: можно считать некоторых животных грамотными (дрессированными) или некторых богов неграмотными.

Итак, мы убедились, что все правила силлогистики некорректны. Рассматривать после этого "правильные" модусы Аристотеля уже не имеет смысла. Однако, сомневающиеся могут ознакомиться с ошибками Аристотеля по [11]. Наиболее характерная из них связана с первым модусом 4-й фигуры. Здравый смысл и русская логика убеждают нас в том, что от перестановки посылок заключение не изменяется. Однако все логики как попугаи вслед за Аристотелем повторяют, что 1-й фигуре соответствует модус ААА, а 4-й - AAI. Причём в этом хоре попугаев математики солируют. Спрашивается, куда подевалось мышление аналитиков? Приведём результаты синтеза этого модуса в базисе Аристотеля по алгоритму ТВАТ:

M = AxmAmy
m  ==========------

x1 =======---------

x2 ==========------

y1 ==========------

y2 =============---

Xy f(x,y)
00 1
01 i
10 0
11 1
f(x,y) = xy+x'y'+ixy' = Axy.

Мы доказали, что первые модусы 1-й и 4-й фигуры ничем не отличаются друг от друга, т.е. подтвердили правоту здравого смысла. Более того, мы лишний раз убедились в никчёмности и фигур, и модусов. Я считаю, что фигуры и модусы, равно как и кванторное исчисление ("лишние сущности" по Оккаму) были придуманы от творческого бессилия.

Несмотря на то, что проблема решения логических уравнений была глубоко вскрыта гениальным русским логиком П.С.Порецким в его работе[21], тем не менее результаты этой научной деятельности не освоены и не поняты ни мировой, ни, что обиднее всего, отечественной наукой. Автору пришлось решать эту задачу заново [29], поскольку проблема требовала введения 4-значной логики, а у Порецкого использовалась лишь двоичная. Тем не менее результаты великого русского логика вызывают восхищение даже при их относительной незавершённости. Кроме того, наша наука просмотрела и то обстоятельство, что впервые в мире аналитическое описание общеутвердительного и общеотрицательного силлогистических функторов дал П.С.Порецкий [30]. Вслед за ним такие же результаты получил Л.Кэрролл. Английская наука также не заметила мировых достижений своего талантливого соотечественника. Мировая наука до сих пор прозябает в невежестве. Отечественные логики [22 - 25] предпринимают мужественные попытки исправить ситуацию, но их усилия не приносят ожидаемых результатов. Нельзя мириться с таким положением дел, когда школьникам и студентам преподают невежественную дисциплину.

Перечислим основные недостатки классической логики.

  1. Классическая логика не использует минимизацию логических функций с помощью карт Карно в том числе и в связи с незнанием алгоритмов, разработанных автором. Карты Карно - необходимейший и обязательный инструмент логика.
  2. Классическая логика проявляет невежество при доказательстве законов логики суждений, поскольку не применяет аналитических методов, что катастрофически сужает круг рассматриваемых задач.
  3. Отсутствие аналитического представления силлогистических функторов лишает фундамента логику предикатов.
  4. Все законы и правила силлогистики либо некорректны, либо никчёмны по своей сути, поскольку в них не учитывается влияние универсума и конкретного содержания терминов.
  5. Все фигуры и модусы силлогистики никчёмны, поскольку нельзя анализировать и синтезировать силлогизмы в общем виде без рассмотрения конкретного базиса, универсума и содержания каждого термина.
  6. Классическая силлогистика оперирует лишь функторами Axy, Exy, Ixy, Oxy и не охватывает подавляющее большинство суждений любого другого типа.
  7. Функтор Oxy является не только лишним, но и некорректным.
  8. В классической логике до сих пор не решена проблема единичного множества.
  9. Нет окончательного результата в проблеме решения логических уравнений и в синтезе обратных логических функций.
  10. В связи с вышеперечисленным студенты и преподаватели обречены на унылую бестолковую зубрёжку и не умеют решать серьёзные задачи логики.
  11. Искореняется всякое мышление.

Приведу основные результаты, полученные при создании русской логики.

  1. Разработаны графические методы минимизации логических функций для большого числа аргументов с помощью карт Карно (алгоритм "НИИРТА").
  2. Создана 4-значная комплементарная логика и её алгебра с методами минимизации комплементарных функций.
  3. Разработаны простые методы решения логических уравнений (алгоритм "Селигер") на основе комплементарной логики.
  4. Применение метода при выводе обратных логических функций показало, что однозначное решение для двоичных аргументов может быть получено лишь в комплементарной логике.
  5. Впервые получены все 16 обратных логических функций для двух аргументов, в том числе функции логического вычитания и деления.
  6. Комплементарная логика при аппаратной реализации позволяет значительно упростить решение проблемы самодиагностирования вычислительной техники: например появление j на любом выходе может свидетельствовать о сбое или отказе.
  7. Синтезированы методы нахождения парных термов для равносильных преобразований логических равенств.
  8. Предложен простой математический метод анализа и синтеза законов логики суждений (алгоритм "Импульс").
  9. Предложены диаграммы Лобанова, позволившие формализовать силлогистику и алгебру множеств.
  10. Впервые создан аналитический базис силлогистики и определены его разновидности: русский, аристотелевский, базис Васильева и т.д.
  11. Впервые показано, что даже общие суждения имеют неоднозначную структуру и аналитическое описание.
  12. Впервые представлено все многообразие базиса частноутвердительного суждения и дано его аналитическое представление.
  13. Впервые найдены аналитические выражения для всех частноутвердительных суждений, удовлетворяющих критерию Васильева.
  14. Предложен простой и надежный способ графической и аналитической проверки силлогизмов и синтеза заключений для любых базисов (алгоритмы "Осташ", "ИЭИ" и "ТВАТ").
  15. Применение предложенного метода избавляет от необходимости запоминания множества логических правил и законов.
  16. Руская логика оперирует не только функторами Axy, Exy, Ixy, Oxy, но и суждениями любого типа.
  17. Предложенный метод ставит под сомнение всё исчисление предикатов, кванторный аппарат которого не справился с задачами анализа и синтеза силлогизмов.
  18. Впервые аналитически описан базис логики Аристотеля-Жергонна. Впервые на основе базиса Аристотеля-Жергонна разработана силлогистика, существенно отличающаяся от классической.
  19. Впервые проверены все 64 модуса силлогистики Аристотеля-Жергонна. Доказано, что многие "правильные" модусы Аристотеля, в том числе и модус AAI 4-й фигуры, не корректны.
  20. Впервые доказано, что ни силлогистика Аристотеля-Жергонна, ни классическая силлогистика не укладываются в прокрустово ложе 19 "правильных" модусов.
  21. Разработаны графоаналитический алгоритм "Осташков" синтеза полисиллогизмов и графический алгоритм "Суздаль" синтеза соритов.
  22. Разработан графический алгоритм "Редан" синтеза недостающей посылки.
  23. Доказано, что ни силлогистика Аристотеля, ни силлогистика Аристотеля-Жергонна не имеют никакого отношения к логике здравого смысла.
  24. Впервые обнаружена и учтена при синтезе силлогизмов зависимость заключения от объёма универсума и содержания терминов.
  25. Впервые решена проблема единичного множества в силлогистике.
  26. Доказано, что все 4 классических правила посылок ошибочны.
  27. Показано, что фигуры и модусы не имеют смысла, поскольку не учитывают универсум и конкретное содержание посылок.
  28. Отмечено, что аналитическое представление силлогистических функторов Axy, Exy впервые дано русским логиком П. С. Порецким, чего до сих пор не поняла отечественная наука.
  29. Показано, что общеразговорная логика не является двоичной.

Подводя итог вышеизложенному, нельзя не придти к выводу, что впервые в мире создана истинно математическая логика, не противоречащая здравому смыслу. Фактически родилась совершенно новая наука, впервые произведена именно научная, а не научно-техническая революция, поскольку созданы предпосылки для рационализации труда учёных.. Впервые в мире реализованы мечты Аристотеля и Лейбница. Их мечты воплощены в России.

Требуется скорейшее внедрение русской логики в школьное и вузовское преподавание для искоренения недостатков и ошибок классической логики, а также в связи с тем, что логика составляет фундамент искусственного интеллекта, главного научного направления 3-го тысячелетия, по уровню развития которого судят о научном потенциале державы.

Автор с 1986г. по совместительству читает курс русской логики в Тушинском вечернем авиационном техникуме. Студенты достаточно свободно её осваивают. Кроме того, приходилось читать лекции школьникам старших классов. Они тоже без затруднений воспринимали эту логику. Два года автор читал платные лекции в НПФ "Знание". И "физики", и "лирики" воспринимали русскую логику с интересом. Слушатели даже произвели видеозапись 6 лекций цикла.

Я готов безвозмездно передать цикл лекций для преподавателей, собирающихся внедрить русскую логику в образование. Если эта дисциплина вызовет повышенный интерес, то я готов сбросить в Internet файлы своих книг "Русская логика против классической" и "Решебник по Русской логике". Книги ещё не скоро выйдут из печати, если вообще выйдут. Кроме того популяризаторские статьи по русской логике выставлены в режиме гипертекста на моих сайтах http://ruslogic.narod.ru и http://ruslogic.by.ru. Зарубежье активно осваивает Русскую логику - за Державу будет обидно, если наша логика вернётся на Родину в импортной упаковке.

Литература

  1. Кэрролл Л. История с узелками. - М.:Мир,1973.
  2. Лобанов В.И. Инженерные методы разработки цифровых устройств. - М.: НИИРТА,1977.
  3. Лобанов В.И. Метод минимизации булевых функций от большого числа переменных с помощью карт Карно. - Инф. листок N54-87,М: МособлЦНТИ,1987.
  4. С. Л. Катречко. Введение в логику. Программа курса. - М.:УРАО, 1997.
  5. Лобанов В.И. Базовые проблемы классической логики.//Современная логика:Проблемы теории,истории и применения в науке(Материалы VI Общероссийской научной конференции), СПбГУ, 2000 - с.499 - 504.
  6. Лобанов В.И. Практикум по логике суждений. //Информатика и образование, №2,2001, с. 47-52.
  7. Лобанов В.И. Кризис логики суждений и некоторые пути выхода из него.//Современная логика:проблемы теории,истории и применения в науке(Материалы V Общероссийской научной конференции)-Санкт-Петербург,1998.
  8. Лобанов В.И. Синтез и минимизация комбинационных схем //Информатика и образование, N5,2000 , с. 60 -63.
  9. Лобанов В. И. Фундамент искусственного интеллекта. //НТИ, сер. 2, Информационные процессы и системы, №5, 2000, с. 6-18.
  10. Лобанов В.И. Многозначная силлогистика без кванторов.//НТИ,сер.2,Информ.процессы и системы,N10,1998,с.27-36.
  11. Лобанов В.И. Силлогистика Аристотеля-Жергонна.//НТИ,сер.2,Информационные процессы и системы,N9,1999,с.11-27.
  12. V. I. Lobanov.// Documentation and Mathematical Linguistics, vol. 32, №6 ,1999 (гонорар выплачен 4.11.2000).
  13. V. I. Lobanov. The solution of logical equations. // Documentation and Mathematical Linguistics, vol. 32, №5,1998, p. 16 - 27 .
  14. V. I. Lobanov. Many-valued quantifier-free syllogism (second basis). // Documentation and Mathematical Linguistics, vol. 32, №5,1998, p. 40 - 60.
  15. Лобанов В.И. Практикум по силлогистике . //Информатика и образование, №6, 2001, с. 42 - 47.
  16. Лобанов В.И. Азбука разработчика цифровых устройств. - М.: Горячая линия - Телеком, 2001 - 192с.
  17. Лобанов В.И. Инженерная логика. Часть 1. //НТИ, сер. 2, Информационные процессы и системы, №1,2001, с. 13-22.
  18. Лобанов В.И. Инженерная логика. Часть 2. // НТИ, сер. 2, Информационные процессы и системы, №3,2001, с. 29 - 32.
  19. Кириллов В.И. Старченко А.А. Логика. - М.: Юрист,1995.
  20. Васильев Н.А. О частных суждениях. - Казань:Университет,1910.
  21. Порецкий П.С. О способах решения логических равенств и об одном обратном способе математической логики. - Казань:1881.
  22. Брусенцов Н.П. Начала информатики. - М: Фонд "Новое тысячелетие",1994.
  23. Брусенцов Н. П. Полная система категорических силлогизмов Аристотеля. -В кн. Вычислительная техника и вопросы кибернетики . Вып.19. - М.: МГУ,1982.
  24. Кулик Б.А. Логические основы здравого смысла. - СПб.:Политехника,1997.
  25. Светлов В.А. Практическая логика. - СПб: Изд. Дом "МиМ",1997.
  26. Рассел Б. История западной философии" - М.:2000 -768с.
  27. Тейчман Д. , Эванс К. Философия. - М.: Весь Мир,1997.
  28. Платон. Диалоги, том 2 - М.: Мысль, 2000.
  29. Лобанов В.И. Решение логических уравнений. //Научно-техническая информация. Сер. 2. N%9, 1998, с. 40 - 46.
  30. Лобанов В.И. Логика Порецкого.// НТИ, сер.2 ,Информационные процессы и системы, №9, 2001, с,25-31.

Логика Порецкого

Аннотация

Прослежена история создания логики в России. Отмечен приоритет России как в области решения логических уравнений, так и в аналитическом представлении силлогистических общеутвердительных и общеотрицательных функторов. Доказано,что аналитические методы решения логических уравнений, разработанные более 100 лет назад Порецким П.С., применялись им также для синтеза силлогизмов(соритов). Показано, что способы Порецкого вполне пригодны для синтеза любых силлогизмов с общеутвердительным или общеотрицательным заключением.


Платон Сергеевич Порецкий родился 3 октября 1846 г. в Елизаветграде Херсонской губернии в семье военного врача[1]. В 1870 г. закончил физматфак Харьковского университета. Был оставлен прфессорским стипендиатом на кафедре астрономии. С 1876 г. избирается астрономом-наблюдателем Казанского университета. За 1876-79 гг. Порецкий опубликовал 2 тома наблюдений на меридианном круге. Несмотря на слабое здоровье участвует в общественной жизни университета, являясь секретарем секции физматнаук, казначеем, а затем и пожизненным членом. Редактирует либеральную газету "Телеграф".

За астрономические исследования в 1886 г. ему присуждается ученая степень доктора астрономии и звание приват-доцента.

Принимал заочное участие в ряде международных научных конгрессов, вел активную переписку как с русскими, так и иностранными учеными.

П.С.Порецкий умер 9 августа 1907 г. в с.Жоведь Гродненского уезда Черниговской губернии, куда переехал из Казани в 1889 г., будучи уже тяжелобольным. Смерть застала его за неоконченной статьей по логике.

Логикой занимается с 1880 г. В 1881 г. выходит его работа "Изложение основных начал мат.логики ...". В 1881 г. издает свой большой труд "О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики"[2], где излагает теорию логических равенств, закон форм посылок, закон замещения системы посылок одной посылкою, закон разложения посылок на элементы, закон исключения терминов из посылок, закон умозаключений(синтез), закон причин. Порецкий далёк от претензии построить универсальное логическое исчисление. В предисловии к [2] он чётко заявляет, что развиваемое им исчисление пригодно лишь для "качественных" умозаключений ("качество" в понимании Порецкого соответствует одноместному предикату). В логических равенствах Порецкий использует суждения только общего характера (утвердительные или отрицательные). Более того, можно утверждать, что в случае получения частного заключения эти методы не работают. Решение подобных задач изложено в [3].

Работа П.С.Порецкого "Из области математической логики" (1902) является обобщением классической силлогистики. Синтезируется несколько заключений из заданных посылок (элиминация), что даёт возможность доказать отсутствие каких-либо других следствий, помимо следствий искомого вида. Элиминацию до сих пор не освоила современная логика.

Попытаемся с современных позиций проанализировать достижения и неудачи великого русского логика в области решения логических равенств. Под решением логического уравнения будем понимать преобразование исходного уравнения к явному виду относительно одной из переменных. При решении системы логических уравнений вначале определяется так называемая полная единица задачи (системы), а потом отыскивается решение уравнения относительно заданных переменных. Решение логического уравнения осуществляется в соответствии с алгоритмом "Селигер"[4].

Алгоритм "Селигер"

  1. Привести систему уравнений к нулевому виду (исходная система).
  2. Заполнить карту Карно нулями в соответствии с термами левых частей исходной системы уравнений, а в оставшиеся клетки вписать единицы. Эти единичные термы представляют собой СДНФ полной единицы системы.
  3. Произвести минимизацию совокупности единичных термов. Полученное соотношение представляет МДНФ уравнения полной единицы системы.
  4. Построить сокращённую (только для единичных термов) таблицу истинности уравнения полной единицы и выписать из неё все значения входных и выходных переменных в виде частных таблиц истинности для искомых функций.
  5. Произвети минимизацию искомых функций.

Пример 1

Рассмотрим 1-ю задачу Порецкого[2]. Между птицами данного зоосада существуют 5 отношений:

  1. Птицы певчие - крупные или обладающие качеством Y.
  2. Птицы,не имеющие качества Y - или не крупны, или не имеют качества X.
  3. Птицы певчие в соединении с крупными объединяют всех птиц с качеством X.
  4. Каждая не-крупная птица есть или певчая,или обладающая качеством X.
  5. Между птиц с качеством X совсем нет таких птиц с качеством Y,которые не будучи певчими, были бы крупны.

Определить, были ли птицы качества X певчие или нет. Узнать то же в отношении птиц качества Y. Найти, были ли среди птиц качества X птицы качества Y и наоборот.

Решение

Прежде всего необходимо отметить,что все 5 отношений являются по существу общеутвердительными и общеотрицательными посылками сорита,т.е.фактически речь идет о синтезе заключения в сорите.

Пусть X - птицы качества X,
      Y - птицы качества Y,
      S - певчие птицы,
      G - крупные птицы.

Тогда условие задачи будет представлено следующими рекурсивными уравнениями[2](здесь и далее апостроф обозначает отрицание):

  1. s=(g+y)s;
  2. y'=(g'+x')y';
  3. x(s+g)=x;
  4. g'=(s+x)g';
  5. xys'g=0.

Уравнения Порецкий через эквивалентность приводит к единичной форме:

  1. g+y+s'
  2. g'+x'+y
  3. s+g+x'
  4. s+g+x
  5. x'+y'+s+g'

Основываясь на введенном нами русском базисе силлогистики[3] Axy = x'+y и Exy = x'+y', созданном при помощи скалярных диаграмм, можно получить эти же соотношения более простым путем :

  1. As(g+y) = s'+g+y
  2. Ay'(g'+x') = y+g'+x'
  3. Ax(s+g) = x'+s+g
  4. Ag'(s+x) = g+s+x
  5. Ex(ys'g) = x'+y'+s+g'

Однако восхищает красота решения задачи П.С.Порецким без привлечения современной математической логики. Фактически русский ученый впервые в мире вывел соотношения для силлогистических функторов Аху и Еху в виде:

Axy = (x = xy),
Exy = (x = xy').

После раскрытия скобок по формуле эквивалентности мы получим формулы русского базиса[3]. Современная силлогистика до сих пор не замечает и не использует этих результатов великого русского логика. Кроме того, данная система уравнений представляет из себя 5 посылок силлогизма, точнее сорита.Таким образом, решив систему уравнений,Порецкий впервые в мире синтезировал аналитически заключение силлогизма (сорита).

Полная логическая единица всей задачи определяется Порецким как конъюнкция всех левых частей системы логических уравнений .Эту рутинную операцию можно заменить на менее утомительную процедуру построения дизъюнкции нулей.Получим систему[4]:

  1. g'y's=0
  2. gxy'=0
  3. g's'x=0
  4. g's'x'=0
  5. gs'xy=0

Полный логический нуль системы равен дизъюнкции всех левых частей системы логических уравнений .Проведем решение задачи Порецкого с использованием карты Карно.Заполним карту Карно нулями в соответствии с нулевыми термами системы,а в оставшиеся клетки впишем единицы. Тогда минимальная дизъюнктивная нормальная форма (МДНФ) полной логической единицы всей задачи примет вид:

M=sy+gx'
     xy
     \  00   01   11   10
  gs  \------------------+
    00¦  0 ¦  0 ¦  0 ¦ 0 ¦
      +----+----+----+---+
    01¦  0 ¦  1 ¦  1 ¦ 0 ¦
      +----+----+----+---+
    11¦  1 ¦  1 ¦  1 ¦ 0 ¦
      +----+----+----+---+
    10¦  1 ¦  1 ¦  0 ¦ 0 ¦
      +------------------+
          Рис.1

Выпишем из карты Карно все единичные термы в виде таблицы истинности (табл.1). По табл.1 построим табл.2 для x = f1(g,s),табл.3 для y = f2(g,s) и табл.4 для y = f3(x). Если на каком-либо наборе функция принимает значение как 0, так и 1, то в соответствующую клетку карты Карно вписываем i. Если какой-либо набор отсутствует, то для этого набора в карту Карно вносим значение j при четырехзначной логике[4]. Карты Карно для табл.2,3 и 4 представлены на рис.2,3 и 4 соответственно.

   Табл.1       Табл.2       Табл.3      Табл.4

        Рис.2         Рис.3            Рис.4

После минимизации получим для четырехзначной логики систему уравнений[4] :

x = is + jg's'
y = g's + ig + jg's'
y = x + ix' = (x + ix) + ix' = x + i

Результаты,полученные Порецким :

x = xs
y = g's + gy
y = y + x

Результаты Порецкого менее корректны,поскольку он использует 2-значную (с некоторой натяжкой ее можно считать псевдо-трехзначной: здесь в качестве i выступает символ функции,встречающийся в правой части уравнений) логику вместо 4-значной. Метод Порецкого корректен при общих посылках и общем заключении, но он абсолютно непригоден для частных посылок и частных заключений. Порецкий своими методами мог бы частично обосновать русскую силлогистику[3], в том числе доказать некорректность 1-го модуса 4-й фигуры.

Аксиоматика Порецкого

В [1] утверждается, что аксиоматика Порецкого имеет вид:

1)	 a -> a,
2)	((a -> b)(b -> c)) -> (a -> c),
3)	(ab) -> a,
4)	(ab) -> b,
5)	((a -> b)(a -> c)) -> (a -> (bc)),
6)	((a -> b)(b -> a)) -> (a = b),
7)	(a = b) -> (a -> b),
8)	(a = b) -> (b -> a).

Непонятно, почему все эти соотношения называются аксиомами, поскольку они легко и просто доказываются с помощью алгоритма "Импульс"[5].

Алгоритм "Импульс"

Алгоритм анализа законов логики суждений чрезвычайно прост :

  1. произвести замену всех знаков импликации на символы дизъюнкции в соответствии с известной формулой x -> y = x' + y;
  2. привести полученное выражение с помощью закона Де Моргана к дизъюнктивной нормальной форме(ДНФ);
  3. занести ДНФ в карту Карно и убедиться, что она вся покрыта единицами - это свидетельствует о истинности проверяемого закона или суждения.

Воспользуемся алгоритмом "Импульс" для доказательства того, что все аксиомы Порецкого являются теоремами:

1)  a -> a = a' + a = 1,
2) ((a -> b)(b -> c)) -> (a -> c) = ((a'+b)(b'+c)) -> (a'+c) = ab'+bc'+a'+c = 1,
3) (ab) -> a = a'+b'+a = 1,
4) (ab) -> b = a'+b'+b = 1,
5) ((a -> b)(a -> c)) -> (a -> (bc)) = ((a'+b)(a'+c)) -> (a'+bc) = ab'+ac'+a'+bc = 1,
6) ((a -> b)(b -> a)) -> (a = b) = ((a'+b)(b'+a)) -> (a=b) = ab'+ba'+ab+a'b' = 1,
7) (a = b) -> (a -> b) = ab'+ba'+a'+b = 1,
8) (a = b) -> (b -> a) = ab'+ba'+b'+a = 1.

Стяжкин Н.И.[1] приводит исчисление Порецкого в виде длинного списка из более чем 20 аксиом и правил:

(1A)    e = e - принцип тождества;
(2П)   (e=c) -> (c=e) - симметричность равенства;
(3П)   ((e=c)&(c=b)) -> (e=b) - транзитивность равенства;
(4A)    ee = e - идемпотентность умножения;
(4*A)   e+e = e - идемпотентность сложения;
(5A)    ec = ce - коммутативность умножения;
(5*A)   e+c = c+e - коммутативность сложения;
(6A)   (ec)b = e(cb) - ассоциативность умножения;
(6*A)  (e+c)+b = e+(c+b) - ассоциативность сложения;
(7A)    e(e+c) = e - принцип поглощения;
(7*A)   e+ec = e - принцип поглощения;
(9П)   (e=c) -> (e+b=c+b);
(9*П)  (e=c) -> (eb=cb);
(10A)   e(c+b) = ec+eb;
(11A)   e+e' = 1;
(11*A)  e&e' = 0;
(12A)   e&0 = 0;
(12*A)  e&1 = e.

Нет нужды доказывать, что весь этот набор аксиом и правил на самом деле является набором теорем, которые легко выводятся по алгоритму "Импульс". Более того, на стр.377 [1] долго и многословно поясняется, как с помощью аксиом и правил можно доказать одну из теорем логических следствий Порецкого. Покажем, как просто это делается по алгоритму "Импульс" (здесь переменная e1 заменена на c):

(e=ec) -> (e=e(c+x)) = e(ec)'+e'ec+ec+ex+e'(e'+c'x') =
= ec'+ec+ex+e' = e+e' = 1.

На все случаи жизни законами и правилами не запасёшься, поэтому гораздо лучше знать одну формулу импликации и на её основе проверять все спорные ситуации. Проиллюстрируем это утверждение весьма показательным примером.

Пример 2

Дана система логических уравнений[9]:

ax = bc, bx = ac. 

Найти х.

Решение

Напрашивается простой и очевидный метод решения: сложить левые и правые части уравнений. В результате получим (a+b)x = (a+b)c. Откуда после сокращения на общий множитель имеем x = c, a = b. Ответ настораживает. Действительно, сложить левые и правые части уравнений мы можем на основании правила (9П) Порецкого. Кстати, заодно и проверим это правило:

(9П)   (e=c) -> (e+b=c+b) = ec'+e'c+(e+b)(c+b)+(e+b)'(c+b)' =
        = ec'+e'c+ec+b+e'b'c' = 1;

Да, Порецкий не ошибся. Однако относительно сокращения на общий множитель великий русский учёный нам ничего не сообщил. А так хочется это сделать, тем более что всё очевидно, и обычная алгебра нам не запрещает подобные операции. Проверим допустимость сокращения на общий множитель с помощью алгоритма "Импульс":

(cx=cy) -> (x=y) = cx(cy)'+(cx)'cy+xy+x'y' = cxy'+cx'y+xy+x'y'  1.

Оказывается, что алгебра логики не разрешает нам этакие вольности. Решим поставленную задачу с помощью алгоритма "Селигер".

Алгоритм "Селигер" предполагает не только графическую, но и аналитическую минимизацию методом обобщённых кодов [6]. Для систем уравнений с числом аргументов не более 10 графический метод эффективнее. Минимизация в четырёхзначной комплементарной логике для двоичных аргументов несущественно отличается от минимизации в двузначной : нужно лишь проводить раздельное склеивание по i, j, 1 и 0.

По алгоритму "Селигер" :

M = (ax = bc)( bx = ac)
M' = (ax Е bc) + ( bx Е ac) = ab'x+ac'x+a'bc+bcx'+a'bx+bc'x+acx'+ab'c.

После занесения M'в карту Карно получим

M = a'b'+abcx+c'x'.

Откуда решение системы логических уравнений в соответствии с алгоритмом "Селигер" примет вид:

x(a,b,c) = abc+ia'b'+jc(ab'+a'b); x(a,c) = ac+ia'.
a(b,c,x) = bcx+ic'x'+jb(cx'+c'x); a(b,c) = bc+ic'. 

Такой же результат можно получить, используя более наглядный,но и более трудоёмкий метод, представив уравнение для М в виде скалярных диаграмм.

a -------------------------======----
b -------------------------====----==
c --------------=========------------
x ------========-----===-------------

Пример 3

В [1, стр. 378] приводится пример уравнения вида

M = ab+a'c.

Если умножить обе части этого равенства на a, то получим a = ab.

Умножив обе части на a', получим a' = a'c. Это результаты Порецкого. Проверим их по алгоритму "Селигер".

Табл. 5.

abc M   b a   c a   bc a
110 1   1 1   0 1   10 1
111 1   1 1   1 1   11 1
001 1   0 0   1 0   01 0
011 1   1 0   1 0   11 0

Из сводной таблицы истинности получаем следующие соотношения:

a(b) = ib;
a(c) = c'+ic; a'(c) = ic;
a(b,c) = bc'+ibc+jb'c'.

Из [4] известно, что

a(b) = ib = Aab;
a(c) = c'+ic = Ac'a; a'(c) = ic = Aa'c;

Полученные уравнения изобразим в виде скалярных диаграмм[3]:

a ======------------------
b ===========----------
c ---===============

Скалярные диаграммы наглядно подтверждают правильность решения логических уравнений как по алгоритму "Селигер", так и по методу Порецкого.

Отыскание обратных функций

Используя алгоритм "Селигер" или "Селигер-С"[7,8], можно получить полную систему обратных функций для двоичной логики. В таблице 6 приведена полная система функций двоичной логики.

Табл. 6

xy z0 z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9 z10 z11 z12 z13 z14 z15
00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
01 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
10 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
11 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Перестановкой столбцов у и z исходной таблицы строим таблицу истинности для полной системы обратных функций.

Табл. 7

xz y0 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10 z11 z12 z13 z14 z15
00 I i i i 0 0 0 0 1 1 1 1 j j j j
01 J j j j 1 1 1 1 0 0 0 0 i i i i
10 I 0 1 j i 0 1 j i 0 1 j i 0 1 j
11 J 1 0 i j 1 0 i j 1 0 i j 1 0 i

Аналогичную таблицу можно было бы построить и для x = f0(y,z). Из таблицы обратных функций получаем полную симметричную систему обратных функций y = f1(x,z), а по алгоритму "Селигер" - y = f2(x), x = f3(y) :

у0  =  iz'+jz                y0 = j                    x0 = j
у1  =  xz+ix'z'+jx'z         y1 = x+jx'                x1 = 1
у2  =  xz'+ix'z'+jx'z        y2 = jx'                  x2 = y'+j 
у3  =  i(xz+x'z')+j(xz'+x'z) y3 = ix+jx'               x3 = 1
у4  =  x'z+ixz'+jxz          y4 = x'+jx                x4 = jy'
у5  =  z                     y5 = 1                    x5 = iy+jy'
у6  =  xz'+x'z               y6 = x'                   x6 = y'
у7  =  x'z+ixz+jxz'          y7 = x'+ix                x7 = y'+iy 
у8  =  x'z'+ixz'+jxz         y8 = jx                   x8 = jy
у9  =  xz+x'z'               y9 = x                    x9 = y
у10 =  z'                    y10 = 0                   x10 = iy'+jy
у11 =  x'z'+ixz+jxz'         y11 = ix                  x11 = y+iy'
у12 =  i(xz'+x'z)+j(xz+x'z') y12 = ix'+jx              x12 = 0
у13 =  xz+ix'z+jx'z'         y13 = x+ix' - импликация  x13 = iy
у14 =  xz'+ix'z+jx'z'        y14 = ix'                 x14 = iy'
у15 =  iz+jz'                y15 = i                   x15 = iy

Кстати, переход от левой системы уравнений к правой(от f1 к f2) легко выполняется простой заменой z на 1 и z' на 0. Аналогичные результаты мы получим, если таблицу прямых функций заменим скалярными диаграммами, а из них по алгоритму ТВАТ[3,8] выведем соотношения y = f(x). Самой примечательной из полученных функций является y13 = x+ix' - импликация. Из этого выражения легко просматривается физический смысл импликации: из истинности x следует истинность y.

Решая ту же самую задачу методом Порецкого,т.е. домножая в равенстве для М левую и правую части на x, x', y, y', мы получим следующие соотношения:

y0 - нет решения                x0 - нет решения
y1 = 1                          x1 = 1
y2 = 0                          x2 = 1
y3 = xy                         x3 = 1                                                             
y4 = 1                          x4 = 0
y5 = 1                          x5 = xy
y6 = x'y                        x6 = xy'
y7 = y+x'                       x7 = x+y'
y8 = 0                          x8 = 0
y9 = xy                         x9 = xy
y10 = 0                         x10 = xy'
y11 = xy                        x11 = x+y
y12 = x'y                       x12 = 0
y13 = x+y                       x13 = xy
y14 = x'y                       x14 = xy'
y15 = y                         x15 = x

Решая 1-ю задачу Порецкого[4], мы заметили аналогию между рекурсивным вхождением функции и комплементарным значением i. Резонно предположить, что такая аналогия существует между комплементарным j и рекурсивным значением инверсии функции. Проверим это предположение на полученных одноаргументных функциях и убедимся в их обратимости с помощью формулы эквивалентности. Заодно представим решение в скалярной форме.

0)	(y = j) є (y = y') 
      M = (y=y') = yy'+y'y = 0  

Нет графического представления.

1) (y = x+jx') є (y = x+x'y') = (y = x+y')     x =============
   M = (y=x+y') = y(x+y')+y'(x+y')' = xy+y'x'y = xy               y =============

2)  y = jx' єx'y'   x =============
    M = (y=x'y') = yx'y'+y'(x'y')' = y'(x+y) = xy'                 y ----------------------

3)  y = ix+jx' єxy+x'y'    x =============
    M = (y=xy+x'y') = y(xy+x'y')+y'(xy'+x'y) = xy+xy' = x          y ======------------

4)  y = x'+jx єx'+xy'= x'+ y'    x ----------------------
    M = (y=x'+y') = y(x'+y')+y'(x'+y')' = x'y                           y =============

5)  y = 1       x =======-----------
    M = (y=1) = y&1+y'&0 = y                                            y =============

6)  y = x'      x ========-------- 
    M = (y=x') = xy'+x'y                                                y -------------=====

7)  y = x'+ix є x'+xy = x'+y      x ========--------
    M = (y=x'+y) = y(x'+y)+y'(x'+y)' = y+xy' = x+y = Ax'y               y --------========  

8)  y = jx є xy'      x ----------------------
    M = (y=xy') = yxy'+y'(xy')' = x'y'                                  y ---------------------

9)  y = x                                                               x ======-----------
    M = (y=x) = x'y'+xy                                                 y ======-----------

10) y = 0                                                               x =======----------
    M = (y=0) = y&0+y'&1 = y'                                           y ----------------------

11) y = ix є xy                                                         x =======---------
    M = (y=xy) = yxy+y'(xy)' = xy+y' = x+y' = Ayx                       y ====--------------

12) y = ix'+jx є x'y+xy'                                                x ---------------------
    M = (y=x'y+xy')=y(x'y+xy')+y'(x'y'+xy)=x'y+x'y' = x'                y ====--------------

13) y = x+ix' є x+x'y = x+y                                             x ====---------------
    M = (y=x+y) = y(x+y)+y'(x+y)' = y+x'y' = x'+y = Axy                 y ========--------

14) y = ix' є x'y                                                       x =====-------------
    M = (y=x'y) = yx'y+y'(x'y)' = x'y+y' = x'+y' = Exy                  y -------------=====

15) y=i є y                                                             x =======----------
    M = (y=y) = y&y+y'&y' = y+y' = 1 = Ixy(8)                           y ------=======----

После обращения были получены все 16 прямых функций от двух аргументов без какого-либо искажения. Это подтверждает правильность всех алгоритмов решения логических уравнений и корректность комплементарной логики. Если применить аналогичную процедуру к обратным функциям, полученным по методу Порецкого, то обратимость для М может быть обеспечена лишь при использовании сразу двух функций в виде логического произведения. Например, для y12 = x'y получим:

M = (y = x'y) = x'y+y'(x+y') = x'y+y' = x'+y',

что не соответствует исходному M = x'.

Однако, если мы используем обе обратные функции, то результат будет положительным:

M = (x=0)(y=x'y) = x'(x'y+y') = x'(x'+y') = x'.

Данное обстоятельство свидетельствует о том, что метод Порецкого не всегда даёт полное решение.

Заключение

  1. Впервые в мире Порецким П.С. выполнено аналитическое описание общеутвердительного и общеотрицательного функторов .
  2. >Впервые в мире Порецким П.С. дано аналитическое решение силлогизмов и соритов общего характера.
  3. >Методы решения логических равенств по-Порецкому эффективны, но имеют определённые ограничения частного характера.
  4. Все перечисленные ограничения снимаются при использовании четырёхзначной логики и применении скалярных диаграмм.

Литература

  1. Стяжкин Н.И. Формирование математической логики. - М:1967.
  2. Порецкий П.С. О способах решения логических равенств и об одном обратном способе математической логики. - Казань,1881.
  3. Лобанов В.И. Многозначная силлогистика без кванторов.//Научно-техническая информация.Сер.2.N%10,1998,с.27-36.
  4. Лобанов В.И. Решение логических уравнений.//Научно-техническая информация.Сер.2.N%9,1998,с.34-40.
  5. Лобанов В.И. Практикум по логике суждений. //Информатика и образование,№2,2001.
  6. Лобанов В.И. Инженерные методы разработки цифровых устройств.- М:1977(шифр Центр.Политехн.Библиотеки - W145 4/231)(шифр библ. НИИРТА - 62-507/Л68).
  7. V. I. Lobanov. The solution of logical equations. // Documentation and Mathematical Linguistics, vol. 32, №5,1998, p. 16 -34 .
  8. V. I. Lobanov. Many-valued quantifier-free syllogism (second basis). // Documentation and Mathematical Linguistics, vol. 32, №5,1998, p. 27 -40
  9. Левченков В.С. Булевы уравнения. - М.:1999.

Логика в образовании

Русская логика - инструмент науки 21-го века

Практикум по обратным функциям

Плешь Бертрана Рассела

Список публикаций

Программа общ-ва "Знание" по Русской логике

Достижения и неудачи Порецкого П.С.

Порецкий - гордость Российской науки

Силлогистика с вероятностными посылками

Решение уравнений в двоичной логике

УНЦИЯ

Уровень НИОКР

Благодарность создателю сайта Капустину Е_А_

О невежестве

Модусы

Парадоксы Русской логики

Нечётный счётчик с меандром на выходе

Бестолковость математиков 20-го века

Анализ расуждений

Замечания по Русской логике

СТ-меандр

Невбесмат 15-12-13