lomonosov

Силлогистика

Краткая справка

Любой базис может быть представлен с помощью атомарного базиса,состоящего всего из двух функторов: Axy = x'+y, Ixy = x+y+x'y' = 1

Русский базис

Axy(2) = Axy = x'+y
Exy(2) = Axy' = x'+y'
Ixy(2) = Ixy || Ax'y = x+y+ix'y' = x+y+i

Базис Васильева

Axy(8) = Axy = x'+y
Exy(8) = Axy' = x'+y' = Eyx
Ixy(8) = Ixy = Iyx = Ix'y' = Ix'y = Ixy' = x+y+x'y' = 1

Базис Аристотеля-Жергонна

Axy(3) = Axy || (x=y) = xy+x'y'+ix'y 
Exy(3) = Axy' = x'+y'
Ixy(3) = Ixy || Ax'y || Axy || Ayx || (x=y) = xy+i(x'+y') = xy+i
Oxy(3) = Ixy || Ax'y || Axy' || Ayx = xy'+i(x'+y) = Ixy'(3)

Варианты частноутвердительного силлогистического функтора Ixy

  1. Ixy = Ixy || Ayx || Axy = xy+x'y'+i(xy'+x'y) = xy+x'y'+i
    (Ixy)' = j(xy'+x'y)
    
  2. Ixy = Ixy || Ax'y = x+y+ix'y' = x+y+i
    Ixy)' = jx'y'
    
  3. Ixy = Ixy || Axy || Ayx || Ax'y || (x=y) = xy+i(x'+y') = xy+i
    Ixy)' = j(x'+y')
    
  4. Ixy = Ixy || Ayx = x+y'+ix'y = x+y'+i
    (Ixy)' = jx'y
    
  5. Ixy = Ixy || Ayx || Ax'y = x+ix' = x+i
    (Ixy)' = jx'
    
  6. Ixy = Ax'y = Ay'x = Ex'y' = x+y
    (Ixy)' = x'y'
    
  7. Ixy = Ixy || Axy || Ax'y = y+iy' = y+i
    Oxy = jy'
    
  8. Функтор Васильева изображен на рисунке.
    X  ==============-------------
    
    Y  ------===============------
    
    Ixy = 1
    

Алгоритм "ИЭИ "(аналитический синтез силлогизма)

  1. Заменить посылки выражениями в соответствии с формулами для функторов A,E,I,O.
  2. Получить выражение для полной единицы М системы в виде конъюнк- ции всех посылок.
  3. Получить из М функцию М(х,у), заменив средний член m или m' на 1.Если средний член m/m' входит в силлогизм автономно, то заменить его на i. Полученная функция М(х,у) является заключением силлогизма. Если в М встречается терм im или im', то заключения не существует.

Алгоритм "ТВАТ" (графический синтез силлогизмов)

  1. Изобразить все возможные ситуации для исходных посылок с помощью скалярных диаграмм.
  2. Занести в таблицу истинности все значения f(x,y) для входных наборов xy: 00,01,10,11.
  3. Выполнить минимизацию логической функции заключения f(x,y) в четырёхзначной комплементарной логике.
  4. Полученный результат представить в виде силлогистического функтора в соответствии с известным базисом.

Алгоритм "РЕДАН" (синтез недостающей посылки)

  1. Изобразить все возможные ситуации для исходной посылки и заключения с помощью скалярных диаграмм.
  2. Занести в таблицу истинности все значения f(m,y) для входных наборов my: 00,01,10,11.
  3. Выполнить минимизацию логической функции заключения f(m,y) в четырёхзначной комплементарной логике.
  4. Полученный результат представить в виде силлогистического функтора в соответствии с известным базисом.

Практикум по силлогистике

Задача 1

Проверить корректность 1-го правила посылок классической силлогистики[8, стр.133].

Решение

Это правило формулируется так: "Хотя бы одна из посылок должна быть утвердительным суждением. Из двух отрицательных посылок заключение с необходимостью не следует". Подберём контр-пример на 1-е правило посылок.

Ни один человек(m) не является бессмертным(x).
Ни один человек(m) не является счастливым(y).
-----------------------------------------------
F(x,y) = ?

В данном силлогизме универсумом(U) является множество существ. По алгоритму ИЭИ получим следующий результат.

M = EmxEmy = (m'+x')(m'+y') = x'y'+m
F(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3),

т.е. "Некоторые смертные несчастливы".

Здесь и далее индекс в скобках обозначает номер базиса. По алгоритму ТВАТ получим графическое решение .

m  ===================------------------

x  -----------------------------========

y1 ----------------------=====----------

y2 ------------------------------=======

y3 ------------------------=============

y4 ----------------------==========-----

xy f(x,y)
00 1
01 i
10 i
11 i

 

F(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3),

т.е. результаты аналитического и графического синтеза заключения совпали со здравым смыслом и опровергли 1-е правило посылок.

Задача 2

Проверить корректность 2-го правила посылок классической силлогистики[8, стр.134].

Решение

Это правило формулируется так: "Если одна из посылок - отрицательное суждение, то и заключение должно быть отрицательным". Контр-пример для этого случая может быть таким.

Все люди(m) - животные(x).
Ни один человек(m) не имеет хвоста(y).
----------------------------------------
F(x,y) = ?

В качестве универсума(U) примем множество смертных существ. Наиболее наглядным является графическое решение по алгоритму ТВАТ.

m  =========----------------------------

x  =====================================

y  ---------------------------==========

Из скалярных диаграмм видно, что заключение является общеутвердительным: "Все хвостатые существа - животные", что опровергает 2-е правило посылок.

Задача 3

Проверить корректность 3-го правила посылок классической силлогистики[8, стр.134].

Решение

Это правило формулируется так: "Хотя бы одна из посылок должна быть общим суждением. Из двух частных посылок заключение с необходимостью не следует". Рассмотрим контр-пример:

Некоторые люди (m) неграмотны (x).
Некоторые люди (m) бескультурны (y).
--------------------------------------
F(x,y) = ?

Пусть U - множество животных. Предположим, что культурным (вежливым, например) может быть и неграмотный. Животные по определению не могут быть культурными. Поскольку аналитический метод синтеза силлогизмов по алгоритму ИЭИ не обладает необходимой наглядностью, то вновь воспользуемся алгоритмом ТВАТ.

m  =========----------------------------

x  -----================================

y1 ---------============================

y2 ---==================================

y3 =====----============================

xy f(x,y)
00 i
01 i
10 i
11 1

 

F(x,y) = xy+i = Ixy(3),

т.е. "Некоторые неграмотные бескультурны" . Это соответствует математике и здравому смыслу, что ставит под сомнение корректность 3-го правила посылок. Разумеется, полученное заключение не единственно возможное, однако оно вполне имеет право на существование. Кроме того, если мы ограничим универсум каким-либо локальным случаем, то вполне может оказаться истинным лишь одно заключение (ситуация Y1): "Все грамотные - культурны". Такое заключение перечёркивает 4-е правило посылок[8,стр.135]:" Если одна из посылок - частное суждение, то и заключение должно быть частным".

Таким образом в ходе решения трёх задач мы доказали некорректность всех четырёх правил посылок классической силлогистики[8]. Следовательно, классическая силлогистика в принципе не может решать поставленные перед нею проблемы. Преподавать классическую логику преступно по отношению к студентам и школьникам.

Задача 4

Все квадраты(m) суть прямоугольники(x)
Все квадраты(m) суть ромбы(y)
----------------------------------------
f(x,y) = ?

Решение

По алгоритму ИЭИ получим:

M = AmxAmy (m=xy) = (m'+x)(m'+y)(mxy+m'x'+m'y') = mxy+m'x'+m'y'
f(x,y) = xy+x'+y' = Ixy(8)

В качестве третьей посылки мы ввели определение квадрата как прямоугольного ромба.

Если в качестве универсума используем понятие "параллелограммы", то получим по алгоритму ТВАТ аналогичный результат.

m  ==============-----------------------

x  =====================----------------

y  ==============-----------------======

xy f(x,y)
00 1
01 1
10 1
11 1

 

Если в качестве универсума выберем лишь множество, состоящее из прямоугольников и ромбов, то получим иной результат.

m  --------------=========--------------

x  --------------=======================

y  =======================--------------

xy f(x,y)
00 0
01 1
10 1
11 1

 

f(x,y) = x+y = Ax'y = Ay'x

Задача 5

Если в силлогизме

Все люди(x) смертны(m)
Сократ(y) - смертен(m)

в качестве универсума примем множество живых существ,т. е. только смертных, то, не зная,что Сократ - человек, получим следующее решение.

M = AxmAym = (x'+m)(y'+m) = x'y'+m
F(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3)

Проверим этот результат по алгоритму ТВАТ:

m  =====================================

x  =================--------------------

y1 --------------------------==---------

y2 --==---------------------------------

xy f(x,y)
00 1
01 i
10 1
11 i

 

f(x,y) = y'+iy = Ixy'(7)

Мы получили менее жёсткий результат, но он логически обоснован: Сократ не может быть одновременно и человеком, и животным,поэтому у нас в скалярных диаграммах отсутствует ситуация Ixy. Этот пример ещё раз подтверждает мысль о бесполезности модусов, о необходимости абсолютно конкретного аналитического или графического представления каждой посылки. К сожалению, в аналитике обе посылки данного силлогизма идентичны, что не соответствует действительности. В этом заключается один из недостатков аналитического синтеза силлогизмов.

Задача 6

Провести синтез силлогизма:

Все люди (m) смертны (x)
Некоторые люди (m) неграмотны (y)
------------------------------------------------
f(x,y) = ?

Решение

Пусть в универсум входят люди,животные и боги. Богов будем считать грамотными.

M = AmxImy(8) = (m'+x) & 1 = m'+x
f(x,y) = x+i = Ixy(5)

Проверим заключение по алгоритму ТВАТ.

m  ==================-------------------

x  =======================--------------

y  ---------==============--------------

x y f(x,y)
0 0 1
0 1 0
1 0 1
1 1 1

 

f(x,y) = y'+x = Ayx

Если мы посчитаем богов неграмотными, то заключение снова изменится.

m  ====================-----------------

x  ==========================-----------

y  -----=================================

x y f(x,y)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

 

f(x,y) = x+y = Ax'y = Ay'x

Рассмотрим этот же силлогизм,но в отсутствии богов,т.е. не включим их в универсум.

m  ==================-------------------

x  =====================================

y  ---------============================

x y f(x,y)
0 0 0
0 1 0
1 0 1
1 1 1

 

f(x,y) = x = AyxAy'x

Этими вариантами не исчерпываются все ситуации: можно считать некоторых животных грамотными(дрессированными) или некторых богов неграмотными.

Задача 7

Найти заключение следующего силлогизма.

Некоторые люди(m) неграмотны(x)
Некоторые люди(m) не знают русского языка(y)
------------------------------------------------
f(x,y) = ?

Решение

Примем в качестве универсума множество смертных живых существ.

M = Imx(6)Imy(6) = (m+x)(m+y) = xy+m
f(x,y) = xy+i = Ixy(3),

т.е. "Некоторые неграмотные не знают русского языка".

m  ====================-----------------

x  -----------==========================

y1 ========---------====================

y2 -----================================

y3 --------------=======================

xy f(x,y)
00 i
01 i
10 i
11 1

 

f(x,y) = xy+i = Ixy(3)

В этом силогизме нарушено 3-е (главное) правило посылок: из двух частных посылок заключения с необходимостью не следует[8].

Задача 8

Найти недостающую посылку в силлогизме с одной посылкой и заключением.

Дано: M = Amx & f(m,y) -> Ixy(8).
-----------------------------------
Найти f(m,y) = ?

Решение

В соответствии с алгоритмом "Редан" получим:

m  ==============-----------------------

x  ============================---------

y1 ------------------------========-----

y2 --------========================-----

y3 =====================----------======

my f(m,y)
00 1
01 1
10 i
11 i

 

F(m,y) = m'+i = Im'y(5)

Задача 9

Найти недостающую посылку:

Все люди (m) смертны (x)
f(m,y) = ?
------------------------------------------------
Все неграмотные (y) смертны (х)

Решение

Пусть в универсум входят люди,животные и боги,т.е. существа. Богов будем считать грамотными. Поскольку под грамотностью мы понимаем умение читать и писать, то всех животных необходимо признать неграмотными по определению. Тогда в соответствии с алгоритмом "Редан" получим следующие скалярные диаграммы:

m  ====================-----------------

x  =============================--------

y  ---------====================--------

m y f(m,y)
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 1

 

f(m,y) = 1 = Imy(8),

т.е. "Некоторые люди неграмотны".

Задача 10

Бертран Рассел в своей работе [28]на стр.194 приводит силлогизм:

Все люди разумны.
Некоторые животные - люди.
--------------------------------
Некоторые животные - разумны.

Покажем на этом примере недостатки мышления Б. Рассела. Во-первых, отсутствие дисциплины мышления проявляется в пренебрежении универсумом, хотя даже 100 лет назад Льюис Кэрролл[13] не позволял себе такого невежества. Определим, например, в качестве универсума весь животный и растительный мир. Во-вторых, последняя посылка с позиции русской логики просто бестолкова: в силу симметрии частно-утвердительного функтора мы должны считать, что, если некоторые животные - люди, то и некоторые люди - животные, а остальные люди - по мнению Рассела, очевидно, растения, минералы или ещё что-нибудь неодушевлённое. Кстати, подобные ошибки характерны для преподавателей Оксфорда и Кембриджа[33]. Вторую посылку необходимо заменить суждением "Все люди - животные". В-третьих, по теории великого русского физиолога И.П. Павлова разумными могут быть люди и только люди, т.е. "люди" и "разумные существа" - эквивалентные понятия. Следовательно, и первая посылка некорректна. В соответствии с русской логикой и здравым смыслом мы должны считать Б.Рассела невеждой и бестолочью. Отредактировав академика,получим следующий силлогизм.

Все люди(m) и только люди разумны(x).
Все люди(m) - животные(y).
-----------------------------------------
F(x,y) = ?

Решение

Пусть x - разумные существа, m - люди, y - животные. Универсум - животный и растительный мир. По алгоритмам ИЭИ и ТВАТ:

M = (x"m)Amy = (xm+x'm')(m'+y) =
  = m'x'+xmy+x'm'y = m'x'+xmy
F(x,y) = x'+y = Axy.
m  =================--------------------

x  =================--------------------

y  =======================--------------

xy f(x,y)
00 1
01 1
10 0
11 1

 

F(x,y) = x'+y = Axy.

Таким образом мы получили правильное заключение "Все разумные - животные", что вполне согласуется со здравым смыслом.

Пойдём навстречу Б.Расселу, "сыграем в поддавки", т.е. построим силлогизм, который укладывался бы в модус AII первой фигуры.

Все молодые люди(m) разумны(x).
Некоторые студенты(y) - молодые люди(m).
------------------------------------------
F(x,y) = ?

По алгоритму ТВАТ при универсуме U = разумные существа получим:

m  =================--------------------

x  =====================================

y  ---------=============---------------

xy x3
00 0
01 0
10 1
11 1

 

F(x,y) = x = Ayx & Ay'x.

Полученное заключение опять не соответствует выводу Б.Рассела и законам классической логики, но прекрасно согласуется со здравым смыслом и математикой. Эти примеры демонстрируют невежество не одного только маститого академика, но и всей мировой науки.

В своей книге [30] "Логика для студентов" О. А. Солодухин приводит большое количество задач. Это первый гуманитарий, который пытается привлечь математику для анализа силлогизмов. Проверим эти задачи алгоритмами ИЭИ и ТВАТ.

В дальнейшем все примеры будут построены на базисе Васильева, поскольку именно он более всего отражает логику здравого смысла.

Задача 11[29,стр.150]

Только философы эгоисты.
Нет циника, который не был бы эгоистом.
-----------------------------------------------------------
Следовательно, все циники - философы.

Решение

Пусть x - философы, y - циники, m - эгоисты. Универсум - люди. Тогда по алгоритму ИЭИ получим:

M = AmxAym = (m'+x)(y'+m) = m'y'+xy'+mx
F(x,y) = y'+x = Ayx,

т.е. наш результат подтвердил истинность заключения.

Проверим решение по алгоритму ТВАТ.

m  ==================-------------------

x  ============================---------

y  ========-----------------------------

xy f(x,y)
00 1
01 0
10 1
11 1

 

F(x,y) = y'+x = Ayx,

т.е. результаты по алгоритмам ИЭИ и ТВАТ совпали.

Задача 12[29,стр.150]

Лишь глупые люди верят в конец света.
Тот, кто верит в гармонию мира, не верит в конец света.
------------------------------------------------------------------------------------
Всегда найдётся глупец, который не верит в гармонию мира.

Решение

Пусть х - глупые люди, m - верящие в конец света, у - верящие в гармонию мира. Универсум - люди.

M = AmxEym = (m'+x)(y'+m') = m'+xy' 
f(x,y) = xy'+i = Ixy'(3)
m  =======================--------------

x  =============================--------

y1 -----------------------------========

y2 -----------------------======--------

y3 -------------------------============

xy f(x,y)
00 i
01 i
10 1
11 i

 

F(x,y) = xy'+i = Ixy'(3).

Если трактовать заключение как "Все глупцы не верят в гармонию мира", то такой вывод ошибочен.

Задача 13[29,стр.150]

Каждого, кто верит в себя, можно считать Человеком.
Никто, ни один человек не верит политикам.
----------------------------------------------------------------------------
Все, кто верит политикам, не верит в себя.

Решение

Пусть х - кто верит в себя, m - Человек, у - кто верит политикам. Универсум - люди.

M = (x " m)Emy = (xm+x'm')(m'+y') = x'm'+xmy'
f(x,y) = x'+y' = Exy.
m  =================--------------------

x  =================--------------------

y  -----------------------==============

xy f(x,y)
00 1
01 1
10 1
11 0

 

F(x,y) = x'+y' = Exy = Ayx' = Axy'.

Задача 14[29,стр.151]

Нет таких членов парламента, которые не участвовали бы в законотворчестве.
Только 12% членов парламента составляют юристы.
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Не все, кто создают законы, являются юристами.

Решение

Пусть x - законотворцы, m - члены парламента, y - юристы. Универсум - люди.

M =  EmxImy(8) = (m'+x')&1 = m'+x'
F(x,y) = x'+i = Ix'y(5).
m  ==================-------------------

x  ------------------------------=======

y1 ---------=====================-------

y2 ---------=========================---

y3 =====--------------------============

xy f(x,y)
00 1
01 1
10 i
11 i

 

F(x,y) = x'+i = Ix'y(5),

т.е. алгоритмы ИЭИ и ТВАТ дали одинаковые результаты,формально не подтверждающие заключение, поскольку в нём не указан базис.

Задача 15[29,стр.151]

Среди юристов имеются профессиональные бизнесмены.
Настоящий бизнесмен не боится инфляции.
____________________________________________
Некоторые юристы не опасаются инфляции.

Решение

Пусть x - юристы, m - бизнесмены, y - не боящиеся инфляции предприниматели. Универсум - люди.

M = IxmAmy = 1*(m'+y) = m'+y
F(x,y) = y+i = Ixy(7).
m  ====================-----------------

x  ------------=================--------

y1 ================================-----

y2 =============================--------

y3 =========================---=========

xy f(x,y)
00 i
01 1
10 i
11 1

 

F(x,y) = y+i = Ixy(7).

Опять формальное несовпадение исходного заключения с полученными результатами, поскольку в заключении не указан базис.

Задача 16[29,стр.151]

Только политики верят в пользу насилия.
Не всякий любитель насилия любит собственных детей.
----------------------------------------------------------------------------------
Некоторые политики не любят своих детей.

Решение

Пусть x - политики, m - любители насилия, y - не любящие своих детей родители.Универсум - люди.

M = AmxImy(8) = (m'+x)&1 = m'+x
F(x,y) = x+i = Ixy(5)
m  =========----------------------------

x  ====================-----------------

y1 ------=========----------------------

y2 ========-------======================

xy f(x,y)
00 i
01 i
10 1
11 1

 

F(x,y) = x+i = Ixy(5)

Опять формальное несовпадение результатов с исходным заключением.

Задача 17[29,стр.151]

Только в споре рождается истина.
Никто не станет спорить, кроме глупца или мошенника.
-------------------------------------------------------------------------------
Лишь глупец или мошенник могут достичь истины.

Решение

Пусть x - "родители истины",
m - спорщики,
y - глупец или мошенник.
Универсум - люди.
M = AxmAmy = (x'+m)(m'+y) = m'x'+x'y+my
F(x,y) = x'+y = Axy.
m  ====================-----------------

x  ==========---------------------------

y  ============================---------

xy f(x,y)
00 1
01 1
10 0
11 1

 

F(x,y) = x'+y = Axy.

Задача 18[29,стр.151]

Боязливый к прекрасному полу - боязлив и в жизни.
Тот, кто знает логику, не боится женщин.
----------------------------------------------------------
Трус не разбирается в логике.

Решение

Пусть x - боязливый в жизни, m - боящийся женщин, y - знающий логику. Универсум - мужчины.

M = AmxEym = (m'+x)(y'+m') = m'+xy',
F(x,y) = xy'+i = Ixy'(3).
m  ==================-------------------

x  ===========================----------

y1 ---------------------====------------

y2 ---------------------================

y3 -----------------------------========

xy f(x,y)
00 i
01 i
10 1
11 i

 

F(x,y) = xy'+i = Ixy'(3).

В данном случае исходное заключение кардинально ошибочно.

Задача 19[29,стр.152]

Среди болтунов нет логиков.
Только болтун может стать политиком.
-------------------------------------------------------
Ни один логик не станет политиком.

Решение

Пусть x - логик, m - болтун, y - политик. Универсум - люди.

M = EmxAym = (m'+x')(y'+m) = m'y'+x'y'+mx'
F(x,y) = x'+y' = Exy. 
m  ==============-----------------------

x  --------------------------===========

y  =========----------------------------

xy f(x,y)
00 1
01 1
10 1
11 0

 

F(x,y) = x'+y' = Exy. 

Задача 20[29,стр.152]

Иногда проходимец может оказаться ясновидцем.
Если ты ясновидец, то не должен лгать.
--------------------------------------------------------------------------------------
Существуют проходимцы, которые обязаны говорить правду.

Решение

Пусть x - проходимец, m - ясновидец, y - честный. Универсум - люди.

M = IxmAmy = 1&(m'+y) = m'+y
F(x,y) = y+i = Ixy(7)

Задача 21[29,стр.152]

Лишь двоечник по убеждению - лентяй.
Ни один студент не любит получать двойки.
---------------------------------------------------------------
Значит, среди студентов нет лентяев.

Решение

Пусть x - лентяй, m - двоечник, y - студент.Универсум - учащиеся.

M = AxmEym = (x'+m)(y'+m') = x'y'+my'+m'x'
F(x,y) = x'+y' = Exy.
m  ================---------------------

x  =============------------------------

y  ---------------------------==========

xy f(x,y)
00 1
01 1
10 1
11 0

 

F(x,y) = x'+y' = Exy.

Задача 22[29,стр.152]

Лишь в правовом государстве реализуются права граждан.
Только демократическое государство может быть правовым.
------------------------------------------------------------------------------------------------
Права граждан могут быть реализованы лишь в демократическом государстве.

Решение

Пусть x - реализующее права граждан государство, m - правовое государство, y - демократическое государство. Универсум - государство.

M = AxmAmy = (x'+m)(m'+y) = m'x'+x'y+my = m'x'+my
F(x,y) = x'+y = Axy.
m  ===================------------------

x  =============------------------------

y  ============================---------

xy f(x,y)
00 1
01 1
10 0
11 1

 

F(x,y) = x'+y = Axy.

Задание 4.1

  1. Проверить 64 модуса всех четырёх фигур силлогистики в базисе Аристотеля-Жергонна.
  2. Проверить 64 модуса всех четырёх фигур силлогистики в базисе Васильева.